Theorie | PID Water Level Control

Tankmodell

Ein Zustand: der Wasserstand

Der Wasserstand `h(t)` wird als Zustandsmodell erster Ordnung beschrieben. Die effektive Beckenflaeche `A` verbindet Volumenstrom und Aenderung des Wasserstands.

Der freie Ablauf wird als Wurzelkennlinie angenaehert. Die Pumpe wird ueber eine normierte Stellgroesse `u` zwischen 0 und 1 beschrieben.

q_out(h)  = c * sqrt(h)
q_pump(u) = u * q_pump_max
0 <= u <= 1

Diskrete Simulation

Euler-Schritt mit fester Abtastzeit

h[k + 1] = h[k] + Delta_t * dh_dt

Nach jedem Schritt wird der Wasserstand auf den physikalisch sinnvollen Bereich zwischen 0 m und maximaler Beckenhoehe begrenzt.

PID-Regler

Positiver Fehler bedeutet: Pumpe staerker fahren

Im Projekt ist der Fehler als `e[k] = h[k] - h_set` definiert. Ist der Wasserstand zu hoch, wird der Fehler positiv und die Pumpenleistung steigt.

Der I-Anteil wird begrenzt. Ausserdem pausiert die Integration, wenn die Pumpe bereits an einer Stellgrenze liegt und der Fehler die Saettigung weiter verstaerken wuerde.

u[k] = Kp * e[k]
     + Ki * sum(e[i] * Delta_t)
     + Kd * (e[k] - e[k-1]) / Delta_t